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Développement durable, méthode quantitatives

Cahier
Développer de nouveaux outils pour mieux prendre en compte les problématiques de développement durable dans les modèles utilisés en économie et en finance, tel était l’objectif de la Chaire Finance et Développement durable lors de sa création en 2006.
 
Conjointement à la Chaire, était créé le laboratoire de Finance des marchés de l’énergie, aujourd’hui Initiative de recherche FiME, lieu de rencontre des industriels et des académiques, leur permettant de partager leurs expériences pratiques de ces questions, à leurs mutuels bénéfices.
 
Afin d’illustrer la diversité des voies de recherche suivies, nous avons souhaité présenter dans ce cahier un échantillon des travaux actuellement conduits au sein de la Chaire et de l’Initiative de recherche FiME. Ainsi le texte d’Ivar Ekeland introduit le problème du passager clandestin comme un obstacle majeur à la gestion globale et durable des ressources naturelles. Dans l’article suivant, Luciano Campi présente une méthode innovante pour la modélisation des contrats futures sur les marchés de l’électricité. Le texte d’Emmanuel Gobet porte, lui, sur l’optimisation des méthodes de calcul numérique appliquées à des stratégies de couverture de risque. Les recherches présentées par Nizar Touzi visent, quant à elles, à mieux comprendre la dynamique des investissements dans les nouvelles technologies de production d’électricité (non carbonées). Enfin, Delphine Lautier et Bertrand Villeneuve résument leur travail de modélisation des équilibres des marchés des commodités (marchés spots et à marchés à termes).
 
Nous saisissons l’occasion de cette publication pour remercier EDF, le Crédit Agricole, la Fondation Institut Europlace de Finance ainsi que l’Institut Louis Bachelier, pour leur soutien, et la continuité de leur engagement depuis sept ans. Pour remercier également les institutions scientifiques, l’Université Paris-Dauphine, l’Ecole Polytechnique, le CREST et les centres de recherche qui ont accueilli et soutenu ce projet en leur sein. Qu’il nous soit permis enfin de remercier les chercheurs qui ont mis leurs compétences, leurs talents et leurs énergies au service de ce projet, réalisant de nombreuses avancées scientifiques dont ce cahier ne représente (faute de place) qu’une petite partie.
 

Jean-Michel Lasry, Président du Comité de pilotage de la Chaire Finance et Développement Durable

René Aïd, Directeur de l’IdR FiME

 

 

 

La rationalité individuelle, un obstacle au développement durable ?

Le développement durable doit répondre aux besoins de la génération actuelle, sans pour autant compromettre la possibilité pour les générations futures de répondre à leurs propres besoins. Pour se conformer à ce critère, il faut mettre en place des mécanismes et des institutions qui permettent de surmonter le problème du passager clandestin : on a toujours intérêt à attendre qu'autrui fasse les efforts qu'on ne fait pas soi-même.
 

Depuis la révolution industrielle, l’espèce humaine s’est affranchie de la loi d’airain de Malthus: sa croissance n’est plus limitée par les ressources alimentaires disponibles. La population du globe est passée de 700 millions d’habitants vers 1700 à 7 milliards aujourd’hui. Cette multiplication par dix ne donne qu’une idée partielle de l’emprise des êtres humains sur la planète: : ils vivent plus longtemps et mieux que leurs ancêtres, c’est-à-dire qu’ils consomment beaucoup plus de ressources et plus longtemps. Celle-ci, longtemps considérée comme inépuisable, atteint aujourd’hui ses limites : les océans se dépeuplent, chaque année 0,5 % des terres arables disparaissent, le climat devient instable, les températures moyennes augmentent. Les conséquences, déjà perceptibles aujourd’hui, seront beaucoup plus graves à long terme : le rapport Stern, par exemple, estime que, si les tendances actuelles se poursuivent, le seul effet du changement climatique coûtera à l’économie mondiale 10 % de PNB tous les ans.

Le concept de développement durable apparaît avec la Commission sur l’Environnement et le Développement, mise en place par les Nations Unies en 1987, dite Commission Brundtland. Elle propose la définition suivante : il s’agit d’un « développement qui répond aux besoins de la génération actuelle, sans pour autant compromettre la possibilité pour les générations futures de répondre à leurs propres besoins”. Elle introduit, par rapport au développement économique tel qu’il a été compris et pratiqué au vingtième siècle, deux différences essentielles : la gestion globale des ressources et l’introduction du très long terme.

 

Le climat, un bien public

Les économistes classent les ressources en renouvelables (les récoltes, le poisson), ou non (le pétrole, les minerais). Pour les premières, il s’agit d’assurer le renouvellement optimal du stock, pour les secondes son épuisement progressif. Ce qui est nouveau aujourd’hui, c’est que certaines ressources, comme l’air et l’eau, qui jusqu’à présent passaient pour inépuisables, deviennent rares, et doivent donc elles aussi être gérées. Cette gestion est compliquée par le fait qu’il s’agit bien souvent de biens publics. Ce que l’économiste appelle un bien public, par opposition à un bien privé, c’est un bien dont tout un chacun peut profiter, sans qu’il lui soit demandé de l’acquérir ou de le produire : si je veux manger un bifteck, il faut que je l’achète, mais le soleil luit pour tout le monde, les bons comme les méchants. La qualité de l’air ou de l’eau est un bien public: tout le monde en bénéficie ou en souffre, les pollueurs comme les autres. Le problème des biens publics, c’est qu’il faut les financer, et comme on peut en profiter sans les avoir payés, chacun se comporte en passager clandestin. C’est bien ce qui se passe à l’heure actuelle dans les négociations internationales sur le changement climatique. Si on arrive à maîtriser celui-ci, toutes les nations en bénéficieront, qu’elles aient participé à l’effort collectif ou pas. Elles cherchent donc à ce que ce soient les autres qui fassent les efforts, et comme tout le monde fait de même, personne ne fait rien. C’est ce que les économistes appellent un équilibre, et pendant ce temps-là le climat continue à se dégrader.

Du long terme au très long terme
 

Le long terme n’est plus ce qu’il était. Le développement durable exige de nos gouvernements qu’ils prennent en compte les besoins des générations futures, c’est-à-dire qu’ils portent leur horizon à cinquante ou cent ans, au lieu de dix ou vingt actuellement. Notons que les générations futures ne votent pas, et n’ont pas de moyen de faire connaître leurs préférences : la tentation est grande, pour les décideurs et les électeurs d’aujourd’hui, de dire, á l’instar d’un roi de France, “Après moi le déluge”. Même s’ils résistent à cette tentation, ils risquent de succomber à une autre, qui est de remettre les efforts au lendemain, c’est-à-dire à la génération suivante. C’est bien ce que l’on voit en ce moment : la lutte contre le changement climatique est passée au second plan, parce que nous considérons que sortir de la crise bancaire de 2008 est plus urgent. On retrouve le problème du passager clandestin : nous sommes tous d’accord, mais nous voulons que ce soient les autres qui fassent le travail, et le résultat c’est que personne ne fait rien.

Le développement durable est le stade ultime de la globalisation : on ne peut plus penser l’économie en dehors du cadre, dorénavant limité, de la planète Terre, et en négligeant l’influence de l’activité humaine sur celle-ci. Il pose à la théorie économique (et à l’espèce humaine) les problèmes les plus difficiles qu’elle ait eu à affronter, et il n’est d’ailleurs pas clair qu’elle arrive à les surmonter. Une seule chose est sûre à ce stade : le marché à lui seul ne les résoudra pas.

 
 
METHODOLOGIE

Ivar Ekeland s’attache principalement à analyser le problème du passager clandestin entre générations. Il suppose que chaque génération est sincèrement attachée au principe du développement durable : s’il était possible de s’engager, et d’engager ses successeurs, sur une politique de croissance à long terme satisfaisant à ce critère, elle le ferait. Malheureusement, ce n’est pas possible, car un gouvernement n’engage pas ses successeurs. Il montre que dans ces conditions, on peut arrêter à un certain seuil la destruction de l’environnement, mais on ne peut jamais reconstituer un environnement déjà détruit.
 
 
 
POUR ALLER PLUS LOIN

1.“Our Common Future”, also known as the Brundtland Report, from the United Nations <http://en.wikipedia.org/wiki/United_Nations> World Commission on Environment and Development <http://en.wikipedia.org/wiki/Brundtland_Commission> (WCED),  Oxford University Press, 1987
 
2.The Stern review on the economics of climate change:
http://webarchive.nationalarchives.gov.uk/+/http:/www.hm-treasury.gov.uk/sternreview_index.htm
 
3.Ivar Ekeland, Yiming Long and Qinlong Zhou, “ If not us, who? And if not now, when? – Growth theory and sustainable development”
https://www.ceremade.dauphine.fr/~ekeland/lectures/TIGER-31.pdf

Faut-il subventionner l’installation d’équipements de production d’électricité non émissifs ?

Quels sont les effets sur les choix privés d’investissements de la mise en place d’une subvention encourageant l’investissement dans des technologies de production d’électricité non émissives? C’est la question que tentent d’éclairer René Aïd, Nizar Touzi et Ren Zhen-Jie, dans ce travail de modélisation. Les auteurs cherchent à établir quel serait le meilleur dosage de cette subvention dans le temps pour atteindre un objectif donné de réduction des émissions de GES (gaz à effet de serre) dans le secteur électrique à la date terminale.

Les pouvoirs publics disposent aujourd’hui de deux outils principaux de réduction des émissions de GES: subventionner les technologies de production non émissives ou mettre en place des systèmes de quotas alloués, via des marchés de permis d’émissions. Les effets de ces politiques sont souvent complexes et difficiles à évaluer, compte tenu de la diversité des technologies de production d’électricité et des spécificités de ce secteur. Qu’elles soient émissives (charbon, pétrole, gaz) ou renouvelables et non émissives (solaire, éolien, géothermie, hydraulique…), les différentes technologies possèdent en effet des propriétés particulières, en termes de coûts fixes d’investissement et d’exploitation, en termes de durée de vie des équipements. En outre, le mix énergétique doit être adapté aux spécificités du secteur électrique, i.e. un bien non stockable dont la demande possède une composante saisonnière marquée avec des pics annuels difficiles à anticiper. En pratique, on devrait également prendre en compte les interactions entre les différents secteurs directement concernés par les marchés d’émissions (secteur électrique, secteur du bâtiment…) et les anticipations des individus. Pour analyser ces phénomènes, le recours à des modèles détaillés, représentant finement un maximum de données, rend difficile l’isolation d’un effet particulier.

Un modèle stylisé

Dans cette étude, les auteurs ont choisi, au contraire, d’utiliser un modèle très simplifié, afin d’isoler certains mécanismes fondamentaux qui régissent la dynamique de l’investissement dans une nouvelle technologie de production électrique. On considère qu’il existe seulement deux technologies : la première, correspondant à cent pour cent des équipements au début de la période, est émissive, a un coût d’investissement faible mais un coût d’exploitation relativement élevé. La nouvelle technologie, non émissive, nécessite un investissement relativement coûteux mais possède un coût d’exploitation plus faible. On adopte alors le point de vue d’un planificateur bienveillant qui a pour objectif d’atteindre un certain niveau de réduction des émissions à une date terminale donnée, en subventionnant la nouvelle technologie de production non émissive. De plus, le marché du carbone est représenté. Les acteurs peuvent acheter ou vendre des quotas selon leurs besoins. Le prix est endogène et résulte de l’anticipation moyenne de l’état de la contrainte à la date terminale. Les décisions du planificateur dépendent de la demande et de l’évolution du prix de l’électricité ; ce dernier est aléatoire mais est affecté (à la baisse) par la substitution des équipements de production carbonée par des équipements de production non carbonée. Le planificateur tient également compte à chaque moment du niveau relatif de capacités non émissives par rapport aux capacités émissives, du prix de l’électricité et du prix du carbone. Il cherche à atteindre son objectif de réduction des émissions à moindre coût, c’est-à-dire en minimisant le coût total de production de l’électricité et du montant des subventions versées.

 

Un jeu complexe d’anticipations

Les décisions du planificateur sont le résultat de la conjonction de deux logiques distinctes, correspondant aux deux types d’équations (forward/backward) qui composent ce modèle. D’un côté, le planificateur calcule le dosage optimal de la subvention dans le temps, en fonction de toute l’information disponible sur le présent et le futur (probabilisé). D’un autre côté, il y a une dimension adaptative : à tout moment, le planificateur revoit son calcul en fonction du niveau de pénétration de la nouvelle technologie. La conjonction de ces deux types d’anticipations génère une dynamique relativement complexe, eu égard à la simplicité des hypothèses de départ. C’est ce qui ressort des premières simulations numériques qui ont été conduites et qui font d’ores et déjà apparaître un résultat notable.

Dans les simulations numériques, l’investissement dans les équipements en énergie non carbonée conduit, dans tous les cas, à une dépréciation rapide du prix des permis d’émissions : la perspective d’un mix énergétique moins polluant, et donc d’une relative surabondance des permis entraîne une chute de leur prix. Cette tendance se poursuit jusqu’à ce que l’objectif final de pénétration de la nouvelle technologie soit atteint.

 

Les conditions d’une politique efficace de réduction des émissions

Quels enseignements peut-on retirer de la dynamique d’un tel modèle très stylisé ? Il suggère tout d’abord que, si l’on souhaite subventionner les investissements dans une certaine technologie non émissive, il est bon de prendre en compte les effets en retour sur le marché des permis d’émissions. En pratique, l’efficacité de cette politique serait renforcée par une intervention conjointe des pouvoirs publics sur les marchés des émissions, qui devrait réduire la quantité des permis d’émissions, de façon continue, au fur et à mesure que la nouvelle technologie de production d’électricité se développe, afin de soutenir le prix de ces permis. En l’absence de mesure compensatoire de ce type, l’effet indirect de la subvention dans une technologie propre serait contraire à l’objectif de départ, puisque l’efficacité du système de permis échangeables serait, au moins dans le court terme, considérablement réduite.

Méthodologie 

Techniquement, ce modèle se présente sous la forme d’un système d’équations stochastiques rétrogrades de type forward / backward. On adopte le point de vue d’un planificateur bienveillant qui chercherait la stratégie d’investissement optimale en technologie non-émissive pour atteindre un certain niveau d’émission à une date terminale. Le seul levier d’action du planificateur est le niveau de la subvention, qui dépend de la demande en électricité, du niveau relatif de capacité non-émissive par rapport aux capacités émissives et du prix de l’électricité. Le prix courant des permis d’émissions est endogène et correspond à la moyenne des anticipations de ce prix à la date terminale.
 
 

Recommandations


– Prendre en compte les effets rétroactifs des mesures de réduction des GES sur les mécanismes de régulation existants, notamment les marchés des permis.

– L’efficacité d’une subvention d’une nouvelle technologie non émissive serait renforcée par une intervention conjointe des pouvoirs publics sur les marchés des permis d’émissions, afin de soutenir le prix de ces permis.

Pour aller plus loin

– Singular forward-backward stochastic differential equations and emissions derivatives. René  Carmona, François Delarue, Gilles-Edouard Espinosa et Nizar Touzi. Annals of Applied Probability. Vol. 23 Issue 3, p1086-1128, 2013.
– Risk-Neutral Models for Emission Allowance Prices and Option Valuation. René Carmona et Juri Hinz, Management Science. Vol. 57 Issue 8, p1453-1468, 2011.
– Market Design for Emission Trading Schemes, René Carmona, Max Fehr, Juri Hinz et Arnaud Porchet, SIAM Review. Vol. 52 Issue 3, p403-452, 2010.
 

 

Comprendre les interactions entre marchés dérivés et marchés physiques des matières premières

Quel est l’impact, sur les marchés physiques des matières premières, des opérations réalisées sur les marchés "futures", où s’échangent des contrats financiers basés sur l’évolution des cours de ces mêmes matières premières ? La spéculation a-t-elle un effet stabilisateur ou déstabilisateur sur les prix ? Ce sont ces questions, parmi d’autres, qu’Ivar Ekeland, Delphine Lautier et Bertrand Villeneuve cherchent à éclairer dans leur modèle.

D’après l’article : “A simple equilibrium model for a commodity market with spot trades and futures contracts” écrit par Ivar Ekeland, CEREMADE, Université Paris-Dauphine, Delphine Lautier, DRM Finance Université Paris-Dauphine, et Bertrand Villeneuve, Leda, Université Paris-Dauphine.

 

C’est une question ancienne que celle du lien entre, d’une part, les marchés physiques de matières premières et, d’autre part, les marchés dérivés (marchés « futures ») où les individus cherchent à se couvrir contre les variations du prix de ces mêmes marchandises. Une question ancienne pourtant non résolue, qui réapparait régulièrement dans le débat public, avec une acuité accrue pendant les périodes où les prix des matières premières sont élevés. C’est le constat que faisait, par exemple, un récent rapport de la F.A.O.  (2011) cité par les auteurs. Ce même rapport soulignait le besoin de travaux de recherche permettant de mieux comprendre les fonctionnements de ces marchés. En effet, si les différents liens unissant les prix du marché physique et les prix du marché papier sont, de longue date, bien connus (théories du déport normal et du stockage), aucun cadre théorique unifié ne permet de les rassembler. L’ambition du modèle proposé par Ivar Ekeland, Delphine Lautier et Bertrand Villeneuve est de combler ce manque en proposant un modèle certes très stylisé mais qui fournit une image globale des principales relations qui régissent les variations des prix sur les marchés physiques et les marchés futures des matières premières. Pour y parvenir, ils ont pris en compte les comportements différenciés des acteurs qui interviennent sur ces marchés (industriels, détenteurs de stocks, spéculateurs) et leurs interactions. 
Un modèle simple mais qui donne une image complète du fonctionnement des marchés

Les caractéristiques de ce modèle peuvent se résumer de façon suivante : on s’intéresse à l’évolution entre « aujourd’hui » (la période 1) et « demain » (la période 2) du prix d’une matière première sur le marché physique et sur le marché futures. Sur le marché physique (marché « spot »), la matière première est échangée pour une livraison immédiate : c’est le lieu où les producteurs rencontrent les utilisateurs. Les uns stockent ou déstockent, les autres ont des besoins industriels en vue d’une transformation de la matière première. Les stockeurs achètent aujourd’hui pour livrer demain, les industriels programment aujourd’hui leur production future, donc leurs besoins de demain. Ces deux fonctions sont bien distinctes et dans un certain sens de signes contraires : les uns programment à l’avance une vente lors du destockage, les autres programment un achat pour exécuter leurs engagements. Sur le marché futures s’échangent des contrats financiers : les agents qui cherchent à se couvrir contre une hausse du prix dans le futur rencontrent ceux qui redoutent une baisse du prix. Ils réalisent ainsi une assurance mutuelle qui permet d’acheter ou de vendre, selon les besoins, une certaine quantité du bien à un prix fixé aujourd’hui. Cela concerne les industriels et les détenteurs de stocks qui sont naturellement complémentaires, mais ce marché attire également un autre type d’agents, les spéculateurs, qui ne sont pas intéressés par le bien lui-même, mais par le risque qu’ils peuvent porter moyennant rémunération. Une quatrième catégorie d’agents, les spot traders, intervient seulement sur le marché spot, en fonction de leurs besoins immédiats et du prix, qu’ils contribuent à former. 

Un modèle d’une grande richesse explicative

Le modèle permet de décrire une situation d’équilibres simultanés : en période 1 sur les marchés physique et papier, en période 2 sur le marché spot. Ces équilibres dépendent des décisions prises en période 1 par les trois catégories d’agents, en fonction de leur anticipation de l’état du marché spot en période 2. Tout l’intérêt du modèle tient à la possibilité de comparer différentes situations d’équilibre, lorsque l’on fait varier certains paramètres (ce que les économistes nomment un exercice de « statique comparative »). A cet égard, le modèle apparaît d’une grande richesse explicative, compte tenu de la grande variété de situations qu’il permet de générer. Ainsi, à l’équilibre, le prix spot peut être inférieur ou supérieur au prix à terme; les détenteurs de stock peuvent choisir de constituer des stocks ou de ne pas le faire ; les industriels peuvent décider d’aller ou pas se couvrir sur les marchés futures… Tout dépend de la manière dont se combinent les fondamentaux du marché (les acteurs en présence par exemple, les technologies) et les chocs ponctuels sur le marché physique. Intuitivement, si ce modèle très simplifié permet de générer autant de configurations différentes correspondant à des situations réelles observées sur les marchés des matières premières, c’est qu’il met l’accent sur les bons mécanismes, les bonnes relations qui régissent effectivement l’interaction entre le marché physique et le marché futures. Ce modèle permet également une analyse en terme de bien-être, au sens où il permet de comparer les utilités des différentes catégories d’agents dans diverses situations. Il permet en particulier de séparer clairement l’utilité de la spéculation et celle de la couverture. Au delà de l’effet haussier –en général– sur le prix spot de l’activité des spéculateurs, il faut en effet considérer que cette activité améliore les possibilités de couverture de risque pour les autres agents (c’est ce que permet de montrer l’approche en termes d’utilité). Plus précisément, le modèle permet de mesurer l’impact d’une augmentation du nombre des spéculateurs sur les autres catégories d’agents. L’un des résultats marquants de ce travail est que les industriels et les détenteurs de stocks ont des intérêts opposés, en terme de couverture de risque, à l’arrivée de nouveaux spéculateurs. En résumé, l’arrivée des spéculateurs est sans effet lorsque les positions des industriels et des détenteurs de stocks coïncident parfaitement, ce qui est rare. Dans les autres cas, si l’une des catégories d’agents a des besoins plus élevés que ce que l’autre catégorie peut lui offrir, elle a intérêt à l’arrivée de nouveaux spéculateurs : cela lui donnera accès à une couverture moins chère. L’autre catégorie y perd car elle bénéficiait de sa rareté relative. 

Méthodologie

Techniquement, ce modèle est comme un modèle d’équilibre à anticipations rationnelles. On suppose que les agents partagent les mêmes informations concernant les états possibles du futur et les probabilités de réalisation de ces différents états. Il s’agit d’un modèle d’équilibre partiel : on s’intéresse aux variations du prix d’une matière première en négligeant les interactions avec les autres marchés. Le modèle permet de discuter de l’influence de certains paramètres au travers de la comparaison de différentes situations d’équilibre (« statique comparative »). 

Recommandations

Afin d’évaluer l’impact des marchés futures sur les marchés physiques, il ne faut pas seulement prendre en compte les effets de la spéculation sur le prix des matières premières, mais aussi les effets physiques, souvent ignorés, permis par les possibilités de couverture qu’offrent ces marchés aux acteurs fondamentaux.

Pour aller plus loin

– Anderson, R. W. et Danthine, J.-P. 1983a. Hedger Diversity in Futures Markets. Economic Journal 93:370–389.

– Anderson, R. W. et Danthine, J.-P. 1983b. The Time Pattern of Hedging and the Volatility of Futures Prices. Review of Economic Studies 50:249–266.

– Ekeland, I. and Lautier, D. et Villeneuve, B., A Simple Equilibrium Model for a Commodity Market with Spot and Futures Trades (July 29, 2013). SSRN: http://ssrn.com/abstract=2323560 ou http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.2323560

– FAO, IFAD, IMF, UNCTAD, WFP, the World Bank, the WTO, IFPRI, and the UN HLTF 2011. Price Volatility in Food and Agricultural Markets: Policy Responses. Technical report, G20.

Introduire la fonction de rareté pour anticiper les prix sur le marché de l’électricité

La modélisation du prix spot et de celui des contrats futures sur le marché de l’électricité est une problématique ancienne. L’électricité a ceci de spécifique que ce n’est pas une matière première stockable. Ainsi, difficile de lui appliquer les modèles propres aux autres marchés. Dans la littérature classique, il existe différents modèles de calcul des prix qui s’attachent au calcul du prix spot ainsi qu’à celui des contrats futures. Dans leur travail de recherche, René Aïd, Luciano Campo et Nicolas Langrené ont modélisé les variations de prix de l’électricité en prenant en compte les occurrences d’événements propres à ce marché.

D’après l’article de René Aïd, Luciano Campi et Nicolas Langrené « A structural risk-neutral model for pricing and hedging power derivatives » et un entretien avec Luciano Campi.

 
A partir des années 1990, la libéralisation du marché de l’électricité en Europe et aux Etats-Unis a amené de nombreux chercheurs à se pencher sur la modélisation des variations de prix sur le marché de l’électricité. Le caractère non stockable de cette énergie a soulevé de nombreuses problématiques. Dans la littérature classique, il est courant de trouver deux approches. La première consiste à modéliser directement la courbe à terme et d’en déduire le prix spot. Il s’agit d’une approche pragmatique qui modélise les prix des instruments de couverture disponibles, mais qui omet cependant de faire le lien entre combustibles et prix de l’énergie. La seconde approche s’attache à déduire les prix à terme sous une probabilité de risque neutre à partir des prix spots. Reste que, dans ce cas, la plupart des auteurs utilisent une dynamique exogène pour les prix spots. Dans leur travail de recherche, René Aïd, Luciano Campi et Nicolas Langrené vont plus loin et proposent une nouvelle modélisation des variations de prix sur les contrats futures d’électricité. Ils vont alors tenter de répondre à la question suivante : comment réaliser une modélisation complète correspondant aux contraintes de tarification des produits dérivés ? Pour ce faire, ils prendront en compte les prix des combustibles, mais également la demande en électricité, la capacité de production des centrales, et la notion de rareté.

Un marché spécifique qui nécessite une modélisation particulière

Le procédé de modélisation utilisé pour les marchés actions ne fonctionne pas sur le marché de l’électricité. Afin d’établir un modèle de prix sur le marché de l’électricité, les chercheurs sont passés par le marché des combustibles. Sur celui-ci, le modèle traditionnellement appliqué aux marchés actions peut s’utiliser. L’introduction de la fonction de production a ensuite permis de faire le lien entre les combustibles et le contrat d’électricité à terme.

 
Relier le marché des combustibles au marché de l’électricité à travers une fonction de production

Dans leur modélisation, René Aïd, Luciano Campo et Nicolas Langrené ont considéré cinq facteurs, parmi lesquels deux combustibles (le charbon et le gaz) et la demande en électricité. A chacun des paramètres, ils ont appliqué deux processus de capacité. La formule des prix à terme d’électricité s’écrit ainsi comme une combinaison linéaire des prix à terme de combustibles. Ils ont également introduit l’argument du non-arbitrage : pour établir le prix des contrats dérivés, ils ont considéré l’espérance par rapport à la probabilité du risque neutre. En prenant en compte la notion de rareté, les chercheurs ont pu introduire l’étude des pics de prix. Lorsque la demande est très proche de la capacité de production, alors la fonction obtenue est très élevée. Cette fonction tire les prix vers le haut.

Introduire la fonction de rareté pour expliquer les pics de prix

Le coût marginal de production est le coût de la dernière énergie fossile utilisée, la plus onéreuse. Sur le marché spot, c’est à dire au comptant, le prix de l’électricité ne correspond pas toujours au coût marginal de production. En cas de pic de demande, par exemple, si la production des centrales est proche du maximum de la capacité globale, les prix seront alors tirés à la hausse. Pour pouvoir inclure les pics de prix dans leur modèle, les trois chercheurs ont introduit un coefficient multiplicateur. Celui-ci permet d’évaluer l’écart entre le prix spot de l’électricité et le coût marginal de production lorsque la demande se rapproche de la limite de capacité. Ce facteur représente la rareté des capacités de production. Cette fonction de rareté est également applicable aux marchés futures. Grâce à leur modèle, les chercheurs ont pu établir le constat suivant : le prix d’un contrat à terme à l’instant « t » correspond à l’espérance mathématique du prix « spot » qui serait constaté à la maturité de ce contrat.

 
En cas de tension sur le marché, le prix de l’électricité dévie du prix d’un portefeuille de combustible 

Avec ce modèle, les chercheurs ont pu établir la relation suivante : tout contrat à terme d’électricité se comporte comme un portefeuille de contrats à terme sur les combustibles. A la condition néanmoins que l’ensemble de ces combustibles se situe dans une maturité qui ne soit pas proche de la livraison : l’équivalence entre un future sur l’électricité et un portefeuille de futures sur les fuels est vérifiée si on est loin de la maturité du contrat. Dans un marché plus tendu, par exemple lorsque la capacité de production tend vers son maximum, la fonction de rareté introduite par les chercheurs fait dévier le prix de l’électricité de celui du portefeuille de combustible.

Méthodologie

Le modèle développé pour le prix spot de l’électricité repose sur des facteurs fondamentaux tels que la demande d’électricité, les capacités, et les combustibles utilisés. La fonction de production qui fait le lien entre ces facteurs et le prix de l’électricité est choisie pour reproduire les pics de prix. La théorie du non-arbitrage permet d’obtenir une formule fermée pour les prix des « futures » de l’électricité comme moyenne pondérée des prix des « futures » des combustibles, les pondérations étant fonction de facteurs non échangeables tels la demande et les capacités. Par l’approche de “Minimisation du risque local”, sont obtenues des formules quasi-explicites des prix d’options, comme des mélanges de formules de Black-Scholes.

 
Recommandations

La prise en compte de la fonction de rareté est indispensable à la juste modélisation des prix de l’électricité sur les marchés futures.

Pour aller plus loin

– R. Aïd, L. Campi, A. Nguy en Huu, N. Touzi (2009). A structural risk-neutral model of electricity prices. International Journal of Theoretical and Applied Finance , 12(7):925–947, 2009.

– M. T. Barlow. A diffusion model for electricity prices. Mathematical Finance , 12(4):287–298, 2002.

– Carmona, Coulon, Schwarz. Electricity price modeling and asset valuation : a multi fuel structural approach. Mathematics and financial Economics, 7(2) pp.167-202

– R. Aïd., L. Campi, N. Langrené, & H. Pham (2012). A probabilistic numerical method for optimal multiple switching problem and application to investments in electricity generation. arXiv preprint arXiv:1210.8175.

Comment définir des dates d’intervention optimales sur les marchés peu liquides ?

Les marchés physiques sont moins liquides que les marchés actions. Ainsi, ceux qui opèrent sur les matières premières ont coutume d’intervenir moins régulièrement sur ces marchés que leurs confrères spécialistes des actions ou obligations. Quels sont les meilleurs moments pour prendre des décisions d’investissement sur ces marchés peu liquides ? Quelle est la fréquence d’intervention optimale qui permet la meilleure couverture de risque ? Le modèle développé par Emmanuel Gobet et Nicolas Landon propose une réponse mathématique à ces questions.

D’après un entretien avec Emmanuel Gobet et l’article « Almost sure optimal hedging strategy », coécrit par Emmanuel Gobet de l’Ecole Polytechnique et Nicolas Landon, doctorant de l’Ecole Polytechnique

 

De façon empirique, les financiers qui opèrent sur les matières premières fixent eux- mêmes une fréquence d’intervention. Celle-ci est souvent fonction de leur expérience du marché et peut être quotidienne, hebdomadaire ou mensuelle selon les cas. Emmanuel Gobet et Nicolas Landon ont élaboré une modélisation mathématique permettant de déterminer une fréquence d’intervention optimale. Dans un premier temps, leur travail a consisté à définir un cadre d’étude permettant de fixer le moment optimal d’intervention sur les marchés peu liquides. Ils ont réalisé leur étude à partir de données du groupe GDF-Suez, qui utilise les techniques du marché à terme dans une perspective de couverture contre les variations du prix du gaz et du pétrole. Les deux chercheurs se sont attelés à élaborer une stratégie permettant de minimiser l’erreur due au suivi des marchés à temps continu. Pour ce faire, ils ont déterminé un critère d’optimalité qu’ils ont éprouvé. Dans un deuxième temps, ils ont mis au point une stratégie permettant de minimiser ce critère.

Le gamma, un bon indicateur de l’évolution des portefeuilles face au marché

Le critère d’optimalité retenu est lié aux gammas. Sur un portefeuille d’investissement, différentes variables évoluent au cours du temps. Le gamma représente le taux de variation du delta et exprime l’accélération avec laquelle un titre perd ou gagne de la valeur vis-à-vis d’un mouvement sous-jacent. De façon empirique, les opérateurs de marché savent que plus les gammas sont élevés, plus il leur faut être attentifs aux variations de marché. Ainsi, les gammas sont un bon indicateur de l’évolution des portefeuilles face aux mouvements des marchés et les professionnels savent que lorsqu’une de leur position possède un gamma élevé, il leur faudra être derrière leur écran et faire preuve de vigilance et de réactivité. Les mouvements opérés seront alors plus nombreux avec un gamma élevé qu’avec un gamma faible. La stratégie mise en place par Emmanuel Gobet et Nicolas Landon propose une intervention selon les gammas. Si, de façon empirique, les traders avaient le sentiment que les gammas ont une influence sur leurs dates d’intervention et, de fait, les utilisaient, les chercheurs, via leur modèle, sont parvenus à quantifier ce phénomène. En incorporant dans leur modèle la fonction du gamma de la position, les deux chercheurs sont parvenus à définir un indicateur. Celui-ci, une fois traduit en signal d’intervention, indique à l’opérateur de marché l’ordre de changer sa position lorsque les cours évoluent (à la hausse ou à la baisse) de plus ou moins X pour cent. Ainsi, tant que le marché n’a pas bougé au-dessus ou en-dessous de ce seuil, les opérateurs ne modifient pas leur position. Le pourcentage défini est fonction du gamma du titre et permet de calculer des seuils de déclenchements. Lorsque le pourcentage est franchi, les opérateurs peuvent alors réajuster leurs positions. Les temps d’intervention sont alors optimisés, car les traders n’opèrent pas tant que les seuils ne sont pas franchis. Pour la première fois, le modèle développé par Emmanuel Gobet et Nicolas Landon offre la possibilité de stratégies d’interventions automatisées.

Un modèle applicable à une combinaison de plusieurs matières premières

Pour aller plus loin, Emmanuel Gobet et Nicolas Landon ont décliné leur modélisation à un portefeuille d’actifs. La formule ainsi élaborée permet de délimiter des seuils de déclenchement applicables à un panier de plusieurs actifs. La fonction va dépendre d’une matrice réalisée à partir des fonctions des différents gammas de chaque actif. Par exemple, un gestionnaire ayant à la fois du gaz et du pétrole au sein d’un même portefeuille pourra, grâce au modèle, déterminer le seuil d’intervention qui sera la résultante d’un calcul élaboré à partir des fonctions des gammas de chaque actif et des gammas croisés. Ce seuil d’intervention unique est applicable à l’ensemble du portefeuille. Ainsi, même avec une multitude de risques, les matrices élaborées à partir de fonctions des gammas permettent de déterminer un seuil d’intervention propre à un portefeuille rassemblant plusieurs actifs.

 

Un seuil d’intervention également utile aux marchés liquides

Pour Emmanuel Gobet, « l’application Matières Premières n’a été qu’un prétexte pour ces travaux. Dans les faits, cette approche peut s’appliquer à tous les marchés financiers, y compris les marchés les plus liquides ». Partant des différentes fonctions de gamma, la matrice élaborée permet de définir un seuil d’intervention applicable à l’ensemble d’un portefeuille d’actifs qu’ils soient peu liquides ou, au contraire, très liquides. Le modèle mis en place par les deux chercheurs offre aux opérateurs la possibilité de définir des seuils d’intervention automatisés, quelque soit le marché sur lequel ils interviennent.

 

Méthodologie


Il s’agit d’optimiser les temps d’intervention pour la couverture d’un contrat financier. Une intervention en continu conduit à une couverture parfaite, alors qu’à temps discret, il reste un risque résiduel. L’article contient deux grands résultats d’optimalité:

1. Etant donnée une échelle de fréquence d’intervention, quelle que soit la stratégie, il n’est pas possible de diminuer le risque résiduel en dessous d’un certain seuil, explicite en fonction du Gamma du contrat.

2. Le modèle fournit une stratégie d’intervention optimale qui atteint ce minimum. La stratégie optimale est basée sur des seuils de déclenchement dépendant de manière non triviale du gamma.

3. Pour cela, de nouveaux résultats de convergence probabilistes sont exhibés, valables sur la plupart des modèles et des contrats à couvrir.

 
 

Recommandations


– Si le gamma est bon indicateur de l’évolution face au marché, la fonction des gammas est un indicateur encore plus précis, permettant de déterminer des seuils de déclenchement d’intervention.

– Ce seuil est efficace sur un actif isolé peu liquide, mais également sur un portefeuille d’actifs, qu’ils soient peu liquides ou très liquides.

 

Pour aller plus loin


– E. Gobet, M. Miri. Weak approximation of averaged diffusion processes. To appear in Stochastic Processes and their Applications, 2013.

– E. Gobet, N. Landon. Almost sure optimal hedging strategy. To appear in Annals of Applied Probability, 2013.

– E. Benhamou, E. Gobet, M. Miri. Analytical formulas for local volatility model with stochastic rates. Quantitative Finance, Vol.12(2), pp.185-198, 2012.